RSS

Α.Μπαντιού—Για το «ανοικτό»

26 Ιον.

Α.Μπαντιού—«Τι είναι ένα αντικείμενο;»
[Σημειώσεις τού Ντανιέλ Φισέρ]
23 Μαρτίου 2002

Εισαγωγή στον τρόπο με τον οποίο θα χρησιμοποιήσουμε την κατηγορία τού «ανοικτού». Θα επανέλθω αργότερα στο βιβλίο τού Αγκάμπεν, που μόλις δημοσιεύθηκε, με τίτλο Το Ανοικτό. Θα επιχειρήσω να δείξω ότι, υπό το πρίσμα των μπεργκσονικών και χαϊντεγκεριανών κατηγοριών, το ανοιχτό προσδιορίζεται ως [η] συμβαντική διάσταση τού είναι. Είναι η έννοια που καθιστά δυνατή τη σκέψη ενός υπάρχοντος (Χάιντεγκερ) ή ζώντος όντος (Μπεργκσόν) υπό τη διάσταση τού είναι του — η έννοια, επομένως, που διανοίγει, για ένα ζων ον ή για μια ζώσα κοινωνία, την προοπτική πρόσβασης στη διάσταση τής ζωής· πρόκειται για ένα όραμα όπου κάθε τι που υπάρχει αποκαθίσταται εντός τού είναι τού είναι του. Το ανοιχτό είναι εκείνο που διαρρηγνύει την οροθεσία ενός υπαρκτού, τη στιγμή που αυτό διαπερνάται από το είναι του. Λαμβάνουμε λοιπόν υπόψη το αποτέλεσμα, στο μέτρο που το υφίσταται εκείνο από το οποίο προκύπτει. Αυτή είναι η έννοια τής αποκατάστασης τού υπαρκτού στη διάσταση τού είναι του. Ανοικτό: η διάσταση τού είναι ενός προσδιορισμού τού τῷδε είναι· η έλευση τού είναι ενός όντος, τής ζωής ενός ζώντος. Υπό την έννοια αυτή, ο όρος παραπέμπει σε μια γενολογική διάσταση τού καθαυτό είναι. Στο έργο των στοχαστών αυτών, το ανοικτό ταυτίζεται με το ίδιο το συμβάν τού είναι, πράγμα το οποίο όμως πρέπει να αντιδιασταλεί από τα αποτελέσματά του. (— Παρεμπίπτουσα παρατήρηση: το εννοιολογικό αυτό οικοδόμημα, κατά κάποιο τρόπο, συνιστά έκφραση τού αντιεγελιανισμού των εν λόγω στοχαστών. Πράγματι, στον Έγελο, όπου επίσης συναντούμε την οντολογική διαφορά μεταξύ είναι και όντος, το είναι βρίσκεται καθ’ ολοκληρίαν στο αποτέλεσμά του· ανεξάρτητα από το αν τελικά επιστρέφει, το είναι ενσωματώνεται πλήρως στην διαδικασία πραγμάτωσης με τη διάβασή του μέσω τού αρνητικού. Επομένως, η σκέψη τού Έγελου είναι στοχασμός τής ιστορικότητας τού είναι: το γίγνεσθαι τού είναι δεν είναι άλλο παρά το ίδιο το είναι. Όμως, τόσο στον Μπεργκσόν όσο και στον Χάιντεγκερ, κάτι απαλείφεται στο τελικό αποτέλεσμα· βλέπουμε ένα δυϊσμό μεταξύ σκοπού και έννοιας ή μεταξύ ζωής και μηχανισμού. Καταλήγουμε έτσι σε μια σύλληψη τού είναι ως αδρανούς αποθέματος και «το ανοικτό» θα χρησιμοποιηθεί ως ονομασία για τον χαρακτηρισμό τού αποθέματος αυτού, εφόσον, βέβαια, σκοπός μας είναι η διάνοιξη τής προοπτικής πρόσβασης ενός υπαρκτού όντος στη διάσταση τής δύναμης τού είναι, από την οποία αυτό απορρέει — συνεπώς, αυτό που σκοπείται εδώ είναι ο στοχασμός τού συμβαντικού απόθεματος, στο μέτρο που κατανοούμε το είναι ως συμβάν και όχι απλώς ως αποτέλεσμα. Εγώ προσωπικά δεν χρησιμοποιώ ως παραδοχή την ύπαρξη ενός συμβάντος τού είναι· πρόκειται για νεο-θεολογική θέση, που δομείται πάνω σε ένα σχήμα ενότητας τού είναι. Ως «είναι» εδώ νοείται η συμβαντική ικανότητα μιας ενικότητας προικισμένης με τη δύναμη τού «φύναι» [éclosion]. Δεν θα ασχοληθούμε περαιτέρω με τη θέση αυτή. Για το λόγο που αναφέρθηκε, είναι αδύνατο να ορίσουμε το «ανοικτό» βάσει ενός σχήματος έλευσης τού είναι. Θα ξεκινήσουμε με έναν τοπολογικό ορισμό τού είναι. Θα υπάρχουν περισσότερα από ένα «ανοικτά», πράγμα που καθιστά απαραίτητο έναν «τοπικό» ορισμό τού πολλαπλού. Συνεπώς, απορρίπτουμε κάθε εγχείρημα μοναδικοποίησης τού ανοικτού.)

Ξεκινάμε από μια δεδομένη πολλαπλότητα Ε και το σύνολο των υποσυνόλων της (A\subseteq E).

Ορισμός τού υποσυνόλου: x\inA\rightarrowx\inE.

Ορίζουμε συνάρτηση Int επί των υποσυνόλων τού Ε, η οποία ικανοποιεί τα εξής τέσσερα αξιώματα:

1. Int(A)\subseteqA

2. Int(Int(A)) = Int(A)

3. Int(A\capB) = Int(A) \cap Int(B)

4. Int(E) = E

Τα αξιώματα αυτά μπορούν επίσης να εκληφθούν ως αξιώματα τού «τοπολογικού», βάσει των οποίων μπορούμε να κατασκευάσουμε μια πλήρη θεωρία τού τόπου. Συνιστούν μία αξιωματική προσέγγιση τού τι σημαίνει να είναι κάτι «εντός».

Λύσεις των δύο πρώτων ασκήσεων:

Άσκηση 1. Ορισμός τού κενού (\varnothing ): \neg\exists x (x\in\varnothing) . Ποιο είναι το Int(\varnothing);

Απάντηση: Int (\varnothing)\subseteq\varnothing (αξ.1)

Αλλά, στο κενό δεν υπάρχει τίποτε άλλο από το κενό. Το μόνο υποσύνολο τού κενού είναι το κενό.

Int (\varnothing)=\varnothing

—Η διαπίστωση αυτή είναι το πρώτο βήμα για τη σκέψη και τον στοχασμό τής ολότητας και τού μηδενός. Σύμφωνα επομένως με τον τοπολογικό τους ορισμό, το όλο και το μηδέν ταυτίζονται με το εσωτερικό τους. Αυτό σημαίνει ότι δεν έχουν όρια, δεν έχουν «δέρμα». Πράγματι, το όριο είναι κάτι που δεν βρίσκεται ούτε στο εσωτερικό ούτε στο εσωτερικό. Η ολότητα δεν έχει εξωτερικό. Ομοίως, το τίποτε δεν έχει τίποτε που να μπορεί να λειτουργήσει ως όριο.

Άσκηση 2. Αποδείξτε το εξής: (A\subseteqB)\rightarrowInt(A) \subseteq Int(B)

Απάντηση: Αν A\subseteqB, τότε

Α\cap Β = Α.

Επομένως, Int(A) = Int(Α\capΒ),

δηλ. Int(A) \cap Int(B) (αξ. 3).

Συνεπώς, Int(A) \subseteq Int(B).

—Με άλλα λόγια, περνάμε από τη σχέση υποσυνόλων στη σχέση εσωτερικών. Δείξαμε ότι η οντολογική ιδιότητα τού «εσωτερικού» συνεπάγεται την τοπολογική «εσωτερικότητα». Έχουμε να κάνουμε κατά κάποιο τρόπο με τη μεταβατικότητα τής ιδιότητας αυτής.

Θα προτείνουμε τώρα έναν ορισμό τού «ανοικτού» βάσει τού κριτηρίου τής ταυτότητας ενός συνόλου με το εσωτερικό του:

Ο\subseteqΕ

Το Ο είναι ανοικτό, εάν Int(O)=O.

Ο χαρακτηρισμός «ανοικτό» είναι εδώ θεμιτός, διότι ένα τέτοιο πολλαπλό δεν έχει όριο. Είναι επομένως ανοικτό στο εξωτερικό του. Υπό την έννοια αυτή, είναι αληθής η πρόταση ότι ένας ζωντανός οργανισμός συνιστά κλειστό πολλαπλό. —Άμεση συνέπεια τού ορισμού: το σύνολο αναφοράς Ε είναι ανοικτό. Κάθε σύμπαν είναι επομένως ανοικτό. Πρόκειται για μια βαθυστόχαστη και διαισθητικά αντιληπτή ιδέα: μόνο ό,τι δεν έχει όρια μπορεί δικαιολογημένα να αποκληθεί «σύμπαν».[1] Αν ήταν δυνατή η «απεικόνισή» του, θα επρόκειτο για κλειστό πολλαπλό, εφόσον θα είχε εξωτερικό. Επομένως, η έκφραση «τα όρια τού σύμπαντος» είναι λογικά ασυνάρτητη. Επιπλέον, το κενό είναι ανοικτό. Θα έχουμε, λοιπόν, πάντοτε υποχρεωτικά δύο ανοικτά, το σύμπαν και το κενό. Θα υπάρχει πάντοτε κάποιο «ανοικτό».

Πέραν αυτών, υπάρχουν και άλλα ανοικτά; Η ταξινόμηση των τοπολογιών θα γίνει βάσει τού αριθμού των ανοικτών, καθότι στην έννοια αυτή αποκρυσταλλώνεται η διαφορά μεταξύ οντολογίας και τοπολογίας. Είναι αδύνατο να έχουμε μια ουσιαστική θεωρία τού τόπου, χωρίς να έχουμε στη διάθεσή μας ένα ουσιαστικό κριτήριο τού εσωτερικού, που να μας επιτρέπει, ορισμένες τουλάχιστον φορές, να διακρίνουμε το υπό εξέταση πολλαπλό από το εσωτερικό του. Διαφορετικά, είναι αδύνατη κάθε απόπειρα τοπικοποίησης. Χρειαζόμαστε, λοιπόν, κάποιο όριο, έτσι ώστε να μπορούμε να αποφανθούμε αν δύο πολλαπλά διαφέρουν πραγματικά μεταξύ τους. Χωρίς την ύπαρξη ορίων δεν μπορούμε να κάνουμε λόγο για πραγματική τοπολογία. Βασικά, το είναι μπορεί να διακριθεί από το είναι-εκεί μόνο βάσει τού κριτηρίου τής ύπαρξης ορίων. Η απουσία ορίων σημαίνει την αποκλειστική ύπαρξη τού καθαρού είναι (τού μη τοπικοποιημένου είναι) και την ολοκληρωτική απουσία τού είναι-εκεί (που αποτελεί το υπόστρωμα κάθε ενικότητας). Όλες ανεξαιρέτως οι ενικότητες είναι οριακές· η ύπαρξή τους προϋποθέτει την ύπαρξη ορίων. Εντούτοις, όπως είδαμε στην περίπτωση τού κενού και τού σύμπαντος, δεν θα υπάρχουν πάντα όρια. Ως εκ τούτου, στα δύο άκρα τής ταξινόμησης των τοπολογιών, θα έχουμε: (1) την «τετριμμένη τοπολογία», όπου υπάρχουν δύο μόνο ανοικτά, το Ε και το \varnothing· και, (2) την «διακριτή τοπολογία», όπου όλα τα πολλαπλά είναι ανοικτά. Αυτές είναι οι δύο οριακές περιπτώσεις τής τυπολογίας μας, μεταξύ των οποίων τοποθετούνται όλες οι υπάρχουσες τοπολογίες. Ο προσδιορισμός τού είδους των τοπολογιών θα στηρίζεται στους κανόνες τής τοπολογικής σκέψης. Επομένως, στη βάση μιας αποτελεσματικής θεωρίας τού τόπου, θα μπορούμε να θέσουμε το ερώτημα: τι είδους είναι η δομή μιας πραγματικής τοπολογίας; Κατ’ αυτόν τον τρόπο, μπορεί να συναχθεί μια γενική θεωρία τής τοπικοποίησης. Πιο συγκεκριμένα, μπορούμε να εξάγουμε τα εξής πέντε χαρακτηριστικά σημεία:

(1) Κάθε θεωρητική διδασκαλία περί τόπου θα στηρίζεται σε μια δομή διάταξης: στην περίπτωσή μας, η δομή αυτή δίνεται από τη σχέση υποσυνόλου.

(2) Για τη δεδομένη διάταξη, θα υπάρχει ένα ελάχιστο, που δεν είναι άλλο από το κενό.

(3) Θα υπάρχει ένα μέγιστο, το ίδιο το Ε.

(4) Θα υπάρχει ένας τελεστής τής «ύπαρξης από κοινού»: η τομή.

(5) Θα υπάρχει ένας τελεστής τού «απείρου» (το κάλυμμα), καθόσον είναι αδύνατη οποιαδήποτε τοπικοποίηση χωρίς το άπειρο.

Οι δύο τελευταίες ασκήσεις:

Ι. Να επαληθευτεί ότι η τετριμμένη τοπολογία είναι όντως τοπολογία, να επαληθευτεί δηλ. ότι η ύπαρξη δύο μόνο ανοικτών ικανοποιεί τα τέσσερα αξιώματά μας για το εσωτερικό. Ορίζουμε τη συνάρτηση Int ως εξής: Int(E) = E, ενώ σε κάθε άλλη περίπτωση Int ισούται με \varnothing.

ΙΙ. Δείξτε ότι η διακριτή τοπολογία (όπου, για κάθε περίπτωση, ισχύει Int(A) = A) ανταποκρίνεται στα τέσσερα αξιώματα.


[1] [Γενικότερα, ο Μπαντιού διακρίνει μεταξύ σύμπαντος (δηλ. τού ανοικτού που επιτελεί τον ρόλο τού συνόλου αναφοράς) και μεταξύ «κόσμου». Ο «κόσμος» διακρίνεται περαιτέρω σε τόπους όπου υφίσταται μια ολική σχέση διάταξης (κατά τον Μπαντιού, πρόκειται για την αρχαία ελληνική έννοια τού όρου) και σε τόπους όπου η σχέση διάταξης είναι μερική (monde).]

Advertisements
 
Σχολιάστε

Posted by στο 26/06/2011 in Φιλοσοφία

 

Ετικέτες:

Σχολιάστε

Εισάγετε τα παρακάτω στοιχεία ή επιλέξτε ένα εικονίδιο για να συνδεθείτε:

Λογότυπο WordPress.com

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό WordPress.com. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Twitter

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Twitter. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Facebook

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Facebook. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Google+

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Google+. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Σύνδεση με %s