RSS

Α.Μπαντιού—Για το «ανοικτό» [II]

01 Ιολ.

Α.Μπαντιού—«Τι είναι ένα αντικείμενο;»
[Σημειώσεις τού Ντανιέλ Φισέρ]
30 Μαρτίου 2002

Το «αντικείμενο» αποτελεί κατηγορία τού είναι-εκεί, τού είναι και τής τοπικοποίησής του εξεταζόμενα από κοινού — πράγμα που σημαίνει ότι αποτελεί κατηγορία τού εν-τω-κόσμω-είναι και όχι τής εµπειρίας. Πολύ περισσότερο δεν πρόκειται για αυστηρά οντολογικό προσδιορισμό: η κατηγορία τού «αντικειμένου» δεν μπορεί να αφομοιωθεί ή να αναχθεί στη σκέψη τού καθαυτό είναι, πολλώ μάλλον στη διάσταση τού υποκειμένου. Έχουμε ήδη διευκρινίσει τον τρόπο με τον οποίο αντιλαμβανόμαστε τις έννοιες τής τοπικοποίησης και τού ανοικτού. Επιπλέον, πρέπει να έχουμε πάντα κατά νου τα εξής τέσσερα αξιώματα τού τόπου:

1. Int(A)\subseteqA
2. Int(Int(A)) = Int(A) (αξίωμα τής στασιμότητας)
3. Int(A\capB) = Int(A) \cap Int(B)
4. Int(E) = E (ολότητα ή σύνολο αναφοράς)

Βάσει των στοιχείων αυτών θα μπορούμε να πούμε ότι το Ε αποτελεί τοπολογικό χώρο ή ακόμη ότι ο χώρος αυτός είναι εφοδιασμένος με μια τοπολογική δομή, με την έννοια ότι διαθέτουμε μια πολλαπλότητα αναφοράς E και μια συνάρτηση Int ορισμένη επί του δυναμοσυνόλου P(E).

Η τοπολογική σκέψη είναι μεριστική και όχι στοιχειακή. Υπάρχει ετερογένεια μεταξύ τής ιδιότητας τού στοιχείου και τής σχέσης υπαγωγής, όπως άλλωστε προκύπτει από το ότι ο αριθμός των υποσυνόλων είναι πάντοτε μεγαλύτερος από τον αριθμό των στοιχείων. Είναι αυτό που εγώ αποκαλώ θεώρημα τού σημείου υπερβολής. Τούτο συνιστά ένα θεμελιώδες συστατικό στοιχείο τής καντοριανής θεωρίας των συνόλων, το οποίο συνοδεύεται από σημαντικότατες συνέπειες, ένα αληθινό σταυροδρόμι τής σκέψης.

Το ένδον-είναι (πρόταγμα τής εμμένειας) λαμβάνει δύο μορφές: αυτή τής σχέσης υπαγωγής και αυτή τής ιδιότητας μέλους. Ο πληθάριθμός (δύναμη) κάθε διαμεριστικής ομαδοποίησης είναι μεγαλύτερος από αυτόν τής στοιχειώδους σύνθεσης. Όσον αφορά την τελευταία, πρότεινα μάλιστα την ονομασία «παράσταση» — αυτή, άλλωστε, είναι η έννοια τού «συνόλου» — και τον όρο «αναπαράσταση» για την διαμεριστική ομαδοποίηση. Πράγματι, τα στοιχεία παρουσιάζονται δύο φορές, κατ’ αρχάς από το Ε και στη συνέχεια από το υποσύνολο Α. Οι διαπιστώσεις αυτές διανοίγουν μιας προοπτική θεώρησης των πολλαπλοτήτων, σύμφωνα με την οποία η αναπαράσταση/αντιπροσώπευση θα έχει πάντα το προβάδισμα έναντι τής απλής παρουσίασης. Η πολιτική σημασία της θέσης αυτής συνίσταται στο ότι το πρόταγμα τής άμεσης δημοκρατίας — με την έννοια τής αδιαμεσολάβητης παρουσίασης — εμπεριέχει έναν κριτικό προβληματισμό γύρω από αυτό ακριβώς το σημείο: πράγματι, αν θεωρήσουμε τα κόμματα [θεσμούς αντιπροσώπευσης] ως μέρη/υποσύνολα τού «κράτους τής κατάστασης», το θεώρημα τού Κάντορ μάς λέει ότι στο κράτος υπάρχει πάντοτε μια δύναμη ισχυρότερη από αυτή τής καθαρής παρουσίασης. Αυτή, ωστόσο, η υπεροχή είναι ασταθής και μη μετρήσιμη. Υπό την προοπτική αυτή, το ζήτημα τής δημοκρατίας ανάγεται σε αυτό τής κατίσχυσης των δικαιωμάτων τής απλής παρουσίασης έναντι τής υπερβάλλουσας δύναμης τής «αναπαράστασης». Η κρατική συγκαταρίθμησή μας συνεπάγεται την υπερεκτίμηση τού πλήθους μας.[1] Ως εκ τούτου, το ζήτημα τής τοπικοποίησης άπτεται πρωτίστως τής μεριστικότητας και ανάγεται στο επίπεδο τής τοπολογίας. Από την άλλη όμως μεριά, το πεδίο εκτύλιξης τής τελεστικής σκέψης (ή με άλλα λόγια το επίπεδο εφαρμογής τής αλγεβρικής σχέσης) είναι αυτό των απλών στοιχείων (πβ. x + y = z). Κατ’ αυτόν τον τρόπο, προκύπτουν δύο διαφορετικοί στοχαστικοί προσανατολισμοί: πρώτον, ένας τοπολογικός προσανατολισμός που επικεντρώνεται στην έννοια τού υποσυνόλου και γενικότερα τής τοπικοποίησης και, δεύτερον, ένας αλγεβρικός προσανατολισμός που εστιάζεται στον χειρισμό απλών στοιχείων. Ορισμένες φιλοσοφίες έχουν περισσότερο τοπολογικό χαρακτήρα, ενώ άλλες περισσότερο αλγεβρικό. Ας σημειωθεί, όμως, ότι από οντολογικής πλευράς κάθε τι που συναριθμείται στην αναπαράσταση παρίσταται ήδη στην κατάσταση. Συνεπώς, είναι χιμαιρική η προσδοκία ότι η γυμνή ζωή θα μπορέσει από μόνη της να ορθωθεί ενάντια στην αναπαράσταση. Για να επιτευχθεί αυτό, απαιτείται η επέλευση ενός ετερόνομου στοιχείου. Δεν αρκεί από μόνη της η προσδοκία τού τέλους τού κράτους.[2] Προσέτι, πρέπει να διαθέτουμε ορισμένους τελεστές αποτοπικοποίησης και συνακόλουθα έναν τελεστή αποαντικειμενοποίησης. (Και εδώ μια μικρή παρένθεση. Ποιος είναι ο τόπος τής καθαυτό ανθρώπινης ύπαρξης; Σύμφωνα με τον Αγκάμπεν, βρισκόμαστε στο τέλος μιας περιόδου ιδιόμορφης τοπικοποίησης τής ανθρώπινης ύπαρξης).

Ο τεχνικός ορισμός τής έννοιας τού «ανοικτού» έχει ως εξής: ένα υποσύνολο τού συνόλου αναφοράς Ε είναι ανοικτό αν και µόνο αν είναι ίσο µε το εσωτερικό του (Int(O) = O). Το ανοικτό είναι κάτι που δεν έχει όρια. Το όριο είναι ό,τι δεν μπορεί να αντιστοιχηθεί τοπολογικά ούτε με το εσωτερικό ούτε με το εξωτερικό: από οντολογική άποψη, πρόκειται για υποσύνολο εντός ενός συνόλου Α, το οποίο όμως δεν βρίσκεται τοπολογικά μέσα στο Α. Ως εκ τούτου, το ανοικτό συνεκτείνεται με το εσωτερικό του. Στον πόλεμο, το ανοικτό είναι µορφή έκφρασης τής ήττας.[3] Δεν θα επιχειρήσω εδώ μια συστηματική αποτίμηση τής έννοιας τού ανοικτού. Αρκεί ωστόσο να αναφέρω ότι αποτελεί έννοια με μακρά ιστορία ποικίλων κανονιστικών κρίσεων.

Τα ανοικτά δεν εμπεριέχουν εξειδίκευση τής έννοιας τού εσωτερικού· με άλλα λόγια, δεν το προσδιορίζουν ως προς τη διαφορά του. Με την έννοια αυτή, για να ακριβολογήσουμε, τα εν λόγω σύνολα δεν εμπίπτουν στις προδιαγραφές τής τοπολογίας μας. Κατά κάποιο τρόπο, το ανοικτό αποτελεί ουδέτερο τοπολογικό στοιχείο, καθόσον στην περίπτωσή του δεν υπάρχει διαφοροποίηση του εσωτερικού από το εξωτερικό. Βάσει των ανωτέρω, μπορεί να σκιαγραφηθεί σε γενικές γραμμές ένας δυναμικός τοπολογικός χώρος. Για το σκοπό αυτό, συστηματικό κριτήριο θα αποτελέσει η ταυτότητα ή διαφορά ως προς το εσωτερικό. Έχουμε έτσι:

Ι. Μια πλήρως αδρανή ή «διακριτή» τοπολογία, όπου Int(A)=Α,[4] και

ΙΙ. Μια «τετριμμένη» τοπολογία (με δύο μόνο ανοικτά, το Ε και το \varnothing), όπου για κάθε Α έχουμε Int(A)=\varnothing, ενώ Int(Ε)=Ε.

Πρέπει να επαληθεύσουμε ότι οι δύο αυτές τοπολογίες ικανοποιούν τα τέσσερα αξιώματά μας για το εσωτερικό.

Ι. Διακριτή τοπολογία:

(1-2) Εφόσον Int(A)=Α, θα ισχύει και ότι Int(A)\subseteqA. (αξ.1). Ομοίως και για το αξίωμα 2 (Int(Int(A))=Int(A)).

(3) Εξ ορισμού, ισχύει Int(A\capB) = A\capB.[5]

Επομένως, Int(A\capB) = A\capB = Int(A) \cap Int(B) (αξ.3)

Η διακριτή τοπολογία είναι η ιδεατή περίπτωση ενός αντικειμένου που αφήνει τα πάντα ανοιχτά. Θα μπορούσαμε για παράδειγμα να αναφέρουμε τη σύγχρονη αρχιτεκτονική και τον τρόπο που αυτή χρησιμοποιεί το γυαλί.

ΙI. Τετριμμένη τοπολογία

Πρέπει να εξετάσουμε δύο περιπτώσεις: όταν Α\neE και όταν Α=Ε.

(α) (1) Στην πρώτη περίπτωση το Α είναι γνήσιο υποσύνολο τού Ε. Αλλά ισχύει πάντοτε ότι \varnothing \subseteq A (όπως απαιτεί το αξίωμα 1).

Το κενό είναι αναγκαστικά υποσύνολο κάθε πολλαπλότητας, εφόσον είναι λογικά αδύνατο να αποκλειστεί το αντίθετο. Πράγματι, βάσει τού ορισμού τού υποσυνόλου (x\inA \rightarrow x\in E), το ότι ένα σύνολο Α δεν είναι υποσύνολο τού Ε δηλώνεται ως εξής: \exists x[(x \in A) \wedge (x \notin E)]. Αυτό δεν ισχύει ποτέ για το κενό, το οποίο δεν έχει κανένα στοιχείο. Επομένως, είναι αδύνατο να αποκλειστεί η ισχύς τής πρότασης ότι το κενό είναι υποσύνολο κάθε συνόλου, ότι είναι δηλ. «καθολικό» υποσύνολο.

(2) Έχουμε Int(A)=\varnothing. Αλλά Int(\varnothing)=\varnothing. Επομένως, Int(Int(A)) = \varnothing = Int(A).[6]

(3) Int(A\capB) = \varnothing = Int(A) \cap Int(B) (εφόσον Int(A) = \varnothing και Int(Β) = \varnothing)

(β) Αποµένει η εξέταση τής δεύτερης περίπτωσης.[7]

Υπάρχουν λοιπόν δυο είδη τοπολογιών, οι διακριτές και οι τετριμμένες. Κάθε συνήθης τοπολογία θα εµπίπτει µεταξύ των δύο οριακών αυτών περιπτώσεων. Θα υπάρχουν ορισμένα ανοικτά και ορισμένα μη ανοικτά σύνολα. Επομένως, τα σύνολα δεν θα είναι όλα ανοικτά. Ομοίως, δεν απαιτείται η παντελής απουσία κάθε ανοικτού. Θα έχουμε λοιπόν ένα παράγοντα τοπολογικού επιμερισμού τού ανοικτού, που δεν θα είναι ούτε καθολικός, αλλά ούτε και ολοκληρωτικά απών. Συνεπώς, οι συνήθεις τοπολογίες χαρακτηρίζονται από μη συστηματική διαφοροποίηση τού εσωτερικού. Γενικότερα, μια τοπικοποίηση συνίσταται σε επιμερισμό τού ανοικτού, ο οποίος δεν θα είναι ούτε μέγιστος ούτε ελάχιστος και με βάση τον οποίον θα προσδιορίζεται ο χαρακτήρας κάθε τοπολογίας. Κάθε τοπολογία αποτελεί μια επιμεριστική ενικότητα. Στις ενδιάμεσες αυτές μορφές επιμερισμού έγκειται η ενδεχομενικότητα των τοπικοποιήσεων. (Για παράδειγμα, κάθε συγκεκριμένη αρχιτεκτονική παραγωγή οφείλει να χειριστεί το ανοικτό στο πλαίσιο των προσίδιων σε αυτή προτασιακών δομών κλειστότητας). Στο στοιχείο αυτό εντοπίζεται η ενικότητα ενός κόσμου. Η ενδεχομενικότητα ενός κόσμου ανάγεται στο είδος τού τοπολογικού του επιμερισμού. Κάθε κόσμος αποτελεί μια ορισμένη συστηματική δόμηση τού είναι-εκεί. Τη δομή αυτή θα χαρακτηρίσω με τον όρο «υπερβατολογικό». Το κοσμικό υπερβατολογικό είναι η υποκείμενη τοπολογία ενός κόσμου, η ουσιώδης αιτία τής ενδεχομενικότητάς του. Πρέπει λοιπόν να δούμε από κοντά την έννοια του υπερβατολογικού ενός κόσμου.

Γενικό Περίγραμμα

Θα υποθέσουμε ότι έχουμε έναν τοπολογικό χώρο Ε, εφοδιασμένο με μια συνάρτηση Int, ο οποίος μπορεί να απεικονιστεί ως ένα επίπεδο. Το πρόβλημά μας είναι πώς να συνδέσουμε ένα οποιοδήποτε σύνολο με τον υποκείμενο τοπολογικό χώρο, που αποτελεί για μας τον χώρο τοπικοποίησης. Για το σκοπό αυτό θα εξετάσουμε τα ανοικτά υποσύνολα τού Ε. Μια τέτοια εξέταση προϋποθέτει την ύπαρξη μιας οργανικής συσχέτισης μεταξύ πολλαπλότητας και υπερβατολογικού. Η σχέση αυτή εκφράζεται από τη συνάρτηση εμφάνισης τού συγκεκριμένου κόσμου. Τι σημαίνει ότι κάτι «βρίσκεται εκεί»; Το είναι-εκεί δεν είναι άλλο παρά η τοπικοποίηση [ενός πολλαπλού Α] σ’ έναν τοπολογικό χώρο Ε. Τι γνωρίζουμε για το αρχικό πολλαπλό; Ότι αποτελείται από στοιχεία, για παράδειγμα, τα x και y. Πρέπει να καθίσταται σαφής ο τρόπος με τον οποίο η συνάρτηση τής τοπικοποίησης συμπεριφέρεται σε σχέση με τα στοιχεία x και y. Η ενδοκοσμική παρουσία ενός πράγματος γίνεται σύμφωνα με μια αρχή διαφοροποίησης των στοιχείων από τα οποία αυτό συνίσταται. Κατά κάποιον τρόπο, η συνάρτηση τού φαίνεσθαι αποτελεί αποτίμηση των εσωτερικών διαφορών τού εμφανιζόμενου πολλαπλού Α από την πλευρά τού συγκεκριµένου κόσμου και, επομένως, θα αφορά στον βαθμό ταυτότητας τού ζεύγους των στοιχείων (x,y) σε σχέση με το σύνολο αναφοράς Ε. Συνεπώς, το ερώτημα που τίθεται είναι η ταυτότητα ή διαφορά όσων εμφανίζονται στον κόσμο. Ο βαθμός ταυτότητας «τοπικοποιείται» (μετράται) εντός τού συγκεκριμένου τοπολογικού χώρου. Η συνάρτηση Int, ως πράξη τοπικοποίησης, αποτελεί τη βάση για το πρωτόκολλο εμφάνισης στον συγκεκριμένο κόσμο. Αποτελεί μάλιστα εγγενή προσδιορισμό τού τι σημαίνει «ενδοκοσμική εμφάνιση»: ο κόσμος είναι ουσιαστικά μια κλίμακα εμφάνισης. Τεχνικό πρόβλημα: πρέπει να επεξεργαστούμε περισσότερο τη λογική των ανοικτών υποσυνόλων θέτοντας ορισμένα κριτήρια για τη συνάρτηση Id. Ειδικότερα, μεταξύ των ποικίλων ταυτοτήτων, πρέπει να εξετασθεί προσεκτικότερα η ταυτότητα τού x με τον εαυτό του (δηλ. η τιμή τής Id(x,x)). Υπό το πρίσμα τής οντολογίας, η συνάρτηση λαμβάνει στην περίπτωση αυτή τη μέγιστη τιμή της. Δεν ισχύει όμως το ίδιο και για το φαίνεσθαι.

Επομένως, θα αποκαλέσουμε «ύπαρξη» την τιμή τής Id(x,x) (ήτοι, Ex) — θα πρέπει εδώ να διακρίνουμε μεταξύ είναι και ύπαρξης, καθόσον το Ex αποτελεί κατηγορία τού φαίνεσθαι και όχι τού είναι. Στη συνέχεια, θα ακολουθήσει (α) η λεπτομερέστερη επεξεργασίας τής θεωρίας τού υπερβατολογικού (ως επιπέδου αναφοράς), (β) ο ορισμός τής δεικτοδότησης τού υπερβατολογικού επί τού τοπολογικού χώρου και, τέλος, (γ) η παρουσίαση μιας θεωρίας για την ύπαρξη.

— Έχουμε εφεξής:

Τ το υπερβατολογικό, δηλ. το σύνολο των ανοικτών ενός τοπολογικού χώρου Ε·

O_{i}, κάποιο στοιχείο τού υπερβατολογικού: O_{i}\in T σημαίνει ότι O_{i} είναι υποσύνολο τού Ε·

Int(O_{i}) = O_{i}, (εφόσον το O_{i} είναι ανοικτό υποσύνολο).

— Δομικά χαρακτηριστικά τού Τ:

[1η ιδιότητα]: \varnothing\in T: ισχύει πάντα ότι το κενό είναι ανοικτό υποσύνολο (Int(\varnothing) = \varnothing).

[2η ιδιότητα]: E\in T: To E (ως σύνολο αναφοράς) είναι πάντα ανοικτό (Int(Ε) = Ε).

\varnothing=\mu: Το μικρότερο υποσύνολο τού Ε (το ελάχιστο).

E=M: Το μεγαλύτερο υποσύνολο τού Ε (το μέγιστο).

Τα δύο αυτά στοιχεία τού υπερβατολογικού θα παράσχουν ένα πλαίσιο για τους βαθμούς υπαρξιακής έντασης.

[3η ιδιότητα]: Δεδομένου ενός υποσυνόλου Α τού Ε, ισχύει: (A\subseteq E)\rightarrow (Int(A) \in T).

Το εσωτερικό κάθε υποσυνόλου είναι στοιχείο τού υπερβατολογικού. Για κάθε Α, το εσωτερικό τού Α είναι ανοικτό. Η ιδιότητα τού ανοικτού είναι εγγενής σε κάθε εσωτερικό. Συνεπώς, το υπερβατολογικό εμπεριέχει όλα τα εσωτερικά.

Άσκηση: Δείξτε ότι το Int(A) είναι το μεγαλύτερο από τα ανοικτά υποσύνολα τού Α και ότι, επομένως, ισούται με την ένωση όλων των ανοικτών τού Α.

Ερώτημα όσον αφορά την τομή:

Η τομή δύο υποσυνόλων τού υπερβατολογικού (O_{1}\cap O_{2}) είναι κατ’ ανάγκη ανοικτό υποσύνολο (βάσει τού αξιώματος 3).

Απόδειξη: Βάσει τού αξιώματος 3, έχουμε: Int(O_{1}\cap O_{2}) = Int(O_{1}) \cap Int(O_{2}). Αλλά, εφόσον πρόκειται για ανοικτά υποσύνολα, ισχύει ότι Int(O_{1}) = O_{1} και Int(O_{2}) = O_{2}. Συνεπώς, η τομή O_{1}\cap O_{2} είναι ανοικτό υποσύνολο, εφόσον ισούται με το εσωτερικό της. Διαπιστώνουμε µια συσχέτιση μεταξύ τοπολογίας και αλγεβρικής πράξης. Κατά κάποιο τρόπο, εδώ αναδεικνύεται ο εν μέρει αλγεβρικός χαρακτήρας τής τοπολογίας.

[Εξού η 4η ιδιότητα]: Η τομή δύο ανοικτών είναι ανοικτό [υποσύνολο τού Τ]. Με άλλα λόγια, η τομή μιας τομής ισούται με την τομή των τομών. Εδώ έχουμε ένα όρο αλγεβρικής ή τελεστικής κλειστότητας: παραμένουμε αναγκαστικά στο πεδίο των ανοικτών. Η τομή χαρακτηρίζεται από την ιδιότητα τής κλειστότητας.

[5η ιδιότητα]: Το πρόβλημα τής ένωσης των ανοικτών (O_{1}\cup O_{2}). Η ένωση απαρτίζεται από τα στοιχεία που είτε ανήκουν στο O_{1} ή στο O_{2} ή και στα δύο, σε αντιδιαστολή προς την τομή που είναι το σύνολο των κοινών τους στοιχείων.

Άσκηση:

Δείξτε ότι η ένωση O_{1}\cup O_{2} είναι ανοικτό υποσύνολο και ότι, στην περίπτωσή αυτή, η άπειρη ένωση ανοικτών παραμένει ανοικτό σύνολο.

Ας υποθέσουμε προς στιγμή ότι γνωρίζουμε τι είναι ένα άπειρο σύνολο Ι. Έτσι:

i\in I, όπου i άπειρος αριθμός.

Το σύνολο Ι, το οποίο ονομάζουμε «σύνολο δεικτών», θα μας επιτρέψει να αριθμήσουμε τα σύνολα τής ένωσης: O_{1},O_{2},O_{3}\ldots O_{n},O_{n+1}\ldots

Πρόκειται για άπειρη δεικτοδότηση των ανοικτών. Για παράδειγμα, το σύνολο των φυσικών \mathbb{N} μπορεί να χρησιμεύσει ως σύνολο δεικτών. Αλλά το σύνολό μας μπορεί να είναι οποιοδήποτε άλλο άπειρο σύνολο.

\cup_{i\in I}O_{i}: είναι η ένωση i ανοικτών, όπου ο δείκτης i παίρνει τιμές από το άπειρο σύνολο Ι. Η ένωση παραμένει ανοικτό σύνολο. Το κατηγόρημα τού ανοικτού είναι επομένως κλειστό για τις άπειρες ενώσεις. Πρόκειται για μια προσέγγιση τής συσχέτισης ανάμεσα στις έννοιες τού ανοικτού και τού απείρου. Θα δούμε ότι ανοικτό και άπειρο είναι συμβατές έννοιες.

[Μικρή παρένθεση με αφορμή την προηγούμενη συζήτηση για τους Ρίλκε/Χάιντεγκερ]

Στον Ρίλκε συναντάμε μια βιταλιστική σύλληψη τού ανοικτού ως κάτι το πεπερασμένο και εφήμερο. Στην έννοια αυτή υπάγονται, για παράδειγμα, οι μορφές τού ζώου, τού εραστή, τού παιδιού. Πρόκειται για μια αθώα προσκαιρότητα, για μια αστόχαστη εγκατάλειψη στο εφήμερο τής ζωής. Εχθρός ανακηρύσσεται εδώ η στοχαστικότητα. Το πεπερασμένο βρίσκεται ανάμεσα στο όριο και στην ορμή, αντιπροσωπεύει, κατά κάποιο τρόπο, τη συγχώνευσή τους. Όμως, σύμφωνα με τον Χάιντεγκερ, αυτό δεν είναι αρκετό. Το ανοικτό είναι η ανάδυση, το άνοιγμα, η εκδίπλωση τού όντος στο είναι του. Παρ’ όλ’ αυτά, και οι δυο υποστηρίζουν την ιδέα τής ύπαρξης ενός συμβάντος τού είναι: το ανοικτό έχει πρωτογενή συνάφεια με το πεπερασμένο. Έτσι για άλλη μια φορά, συναντάμε την αντίθεση ζωής‒σκέψης ως γενεσιουργό πυρήνα τής «γερμανικότητας». Εποµένως το πρόβλημα που τίθεται είναι να εναρμονιστεί ξανά το ζωντανό ον με την προσκαιρότητά του, με τον αυθεντικό του χαρακτήρα ως εφήμερου.

Αυτό που πρέπει νομίζω να υπογραμμιστεί είναι ότι υφίσταται πράγματι μια σχέση ανάμεσα στο ανοικτό και το άπειρο (πβ. την ένωση \cup_{i\in I}O_{i}). Πιστεύω ότι αυτό συνιστά μια σημαντική μετατόπιση τής οπτικής γωνίας αντιμετώπισης τής προβληματικής συσχέτισης τού ανοικτού με το πεπερασμένο. Εκείνο που προέχει είναι η επανοικειοποίηση τού απείρου. Το ανοικτό είναι εγγενώς ικανό να αποτελέσει υπόβαθρο για τον συνδυασμό του με το άπειρο.

[Επιστρέφουμε στην τελευταία άσκηση]

\cup_{i\in I}O_{i}: Υπάρχουν i ανοικτά. Το I είναι άπειρο. Με τι ισούται το εσωτερικό του Int(\cup_{i\in I}O_{i}); Τι ακριβώς περιέχει η ένωση αυτή; Αν έχουμε x\in\cup_{i\in I}O_{i} x, αυτό σημαίνει ότι το x ανήκει τουλάχιστον σε ένα από τα εν λόγω ανοικτά: x\in O_{i} ή (\exists i)[x\in O_{i}]. Συνεπώς, η ένωση \cup_{i\in I}O_{i} αποτελείται από όλα τα x που ικανοποιούν την έκφραση αυτή. Αυτό συνεπάγεται αναγκαστικά ότι \cup_{i\in I}O_{i}\in Int(\cup_{i\in I}O_{i}) και, εφόσον, βάσει τού αξιώματος 1, ισχύει ότι Int(A) \subseteq A, καταλήγουμε στο εξής: \cup_{i\in I}O_{i} = Int(\cup_{i\in I}O_{i}) (ορισμός ανοικτού).

— Δείξαμε λοιπόν ότι, δεδομένης μιας ομάδας ανοικτών συνόλων O_{i}, όπου ο δείκτης i παίρνει τιμές από ένα άπειρο σύνολο, η ένωση των συνόλων αυτών περιέχεται κατ’ ανάγκη στο εσωτερικό της (\cup_{i\in I}O_{i}\in Int(\cup_{i\in I}O_{i}) [και \cup_{i\in I}O_{i}\subseteq Int(\cup_{i\in I}O_{i})]). Το σκεπτικό ήταν αφενός μεν ότι κάθε στοιχείο τής ένωσης περιέχεται αναγκαστικά σε κάποιο από τα σύνολα O_{i} τής συγκεκριμένης ομάδας συνόλων, αφετέρου δε ότι για κάθε O_{i} ισχύει το εξής: O_{i} = Int(O_{i}).

Διαπιστώνουμε λοιπόν ότι η συνάρτηση Int είναι συμβατή με άπειρες ενώσεις συνόλων. Σύμφωνα με τα ανωτέρω, είδαμε ότι προκύπτουν τέσσερις θεμελιώδεις ιδιότητες, οι οποίες αποτελούν τη βάση για την εκτέλεση πράξεων επί τού υπερβατολογικού:

a) το ελάχιστο = το κενό
b) το μέγιστο = E
c) μια πεπερασμένη πράξη \cap
d) μια άπειρη πράξη \cup

Όσον αφορά το υπερβατολογικό, διαπιστώνουμε επίσης την ύπαρξη τόσο μιας πεπερασμένης όσο και μιας άπειρης τελεστικής συνάφειας: το υπερβατολογικό είναι ανοικτό τόσο ως προς το αλγεβρικό πεδίο όσο και ως προς τις άπειρες ενώσεις. Αποτελεί σημείο σύγκλισης μεταξύ τελεστικού και απείρου εντός τού πλαισίου που ορίζουν το «ελάχιστο» και το «μέγιστο». Και στο πλαίσιο ακριβώς αυτό θα οριστούν οι πράξεις τού τοπολογικού χώρου, δηλ. τού ελάχιστου, τού μέγιστου, τής συνεμφάνισης [τομής] και, τέλος, τής εμφάνισης μιας άπειρης τοπολογικής περιοχής [τού καλύμματος].


[1] [Σημ.Μετφρ. [On est toujours « sur-compté » par l’État]: Είναι δυνατές διάφορες ερμηνείες τής ιδέας αυτής. Στη μετάφραση επέλεξα να υπογραμμίσω την εννοιολογική απόχρωση τού νομιμοποιητικού «πλεονάσματος» που το «κράτος» αντλεί από το γεγονός τής «διπλομέτρησης» των στοιχείων τής κατάστασης. — Να σημειωθεί επίσης ότι, στις σημειώσεις τού Φισέρ, η φράση ίσως αντιστοιχεί σε αγγλισμό [we’ re always outnumbered by the State], οπότε θα μπορούσε να αποδοθεί ως «το κράτος είναι πάντα ένας αριθμητικά υπέρτερος αντίπαλος», κ.λπ. Ωστόσο, αυτή η απόδοση αλλοιώνει το περιεχόμενο τού συμπεράσματος τού κεφ.26 στο Είναι και Συμβάν, όπου αναφέρεται ότι η αποτίμηση τού μεγέθους τής κρατικής «δύναμης» (το πλήρωμα τού «χάσματος» μεταξύ παράστασης και αναπαράστασης) είναι δυνατή στη βάση μιας άναρχης επιλογής (choix sans concept), εφόσον η έλευση τού συμβάντος θα έχει επιτρέψει «την εντόπιση τού εν λόγω πλεονάσματος και την έκθεση τού κενού τής κατάστασης, σηματοδοτώντας έτσι την πιθανή έναρξη μιας γενολογικής διαδικασίας αλήθειας» (Bosteels, Une Trajectore Polémique, σελ.111).]

[2] [Πβ. «Ο κομουνισμός δεν είναι το τέλος τής ιστορίας, αλλά η απαρχή μιας άλλης ιστορίας και συνεπώς μιας συμβολικής επανώθησης τής αναπαράστασης» (Σεμινάριο, 13/1/10).]

[3] Πβ. το φιλμ «Ρώμη, ανοιχτή πόλη».

[4] [Όλα τα πολλαπλά είναι ανοικτά].

[5] [Και Int(A)=Α και Int(Β)=Β]

[6] [Int(Int(A)) = Int(Int(\varnothing)) = \varnothing, κ.λπ.]

[7] [Εννοεί ότι είναι άσκηση για το σπίτι.]

Advertisements
 
Σχολιάστε

Posted by στο 01/07/2011 in Φιλοσοφία

 

Ετικέτες:

Σχολιάστε

Εισάγετε τα παρακάτω στοιχεία ή επιλέξτε ένα εικονίδιο για να συνδεθείτε:

Λογότυπο WordPress.com

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό WordPress.com. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Twitter

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Twitter. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Facebook

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Facebook. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Google+

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Google+. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Σύνδεση με %s