Φυσική Απειρότητα—A.Badiou

 

Στοχασμός 14—Η οντολογική απόφαση: «υπάρχει άπειρο στα φυσικά πολλαπλά»

(L’Être et l’événement, σελ. 169-179 [pdf])

Δεδομένου, αφενός, ότι η οντολογική δομή[1] για τα φυσικά πολλαπλά παρέχεται από την έννοια τού διατακτικού αριθμού και, αφετέρου, ότι η [αυθεντική] ιστορικότητα[2] τής απόφασης επί τού είναι τού απείρου αποτυπώνεται στη θέση ότι «η φύση είναι άπειρη» (και όχι, βεβαίως, στη θέση περί τής απειρότητας τού Θεού), η δήλωση «υπάρχει κάποιο άπειρο διατακτικό» θα μπορούσε να θεωρηθεί ως εύλογη και λογική διατύπωση ενός αξιώματος για το άπειρο.[3] Ωστόσο, το εν λόγω αξίωμα στερείται νοήματος· και τούτο διότι, εφόσον εκλαμβάνει ως δεδομένο ότι το άπειρο έχει ήδη εδραιωθεί στη θέση τού είναι του, υποπίπτει στο σφάλμα τής λήψεως τού ζητουμένου. Εκείνο, λοιπόν, που απαιτείται είναι να μετασχηματιστεί η έννοια τού απείρου σε κατηγορική μορφή που θα έχει μάλιστα εκφραστεί στη γλώσσα τής συνολοθεωρίας και θα είναι επιπλέον συμβατή με τις ήδη παραδεκτές Ιδέες [=αξιώματα] για το πολλαπλό.

Θα πρέπει, επίσης, να αποκλειστεί εκ των προτέρων η επιλογή ορισμού τής φυσικής απειρότητας βάσει τής ολότητας των διατακτικών. Έχει ήδη αποδειχτεί (πβ. κεφ. 12) ότι, κατά αυτόν τον τρόπο νοούµενη, η Φύση στερείται ύπαρξης, διότι το υποτιθέμενο πολλαπλό που παρουσιάζει κάθε διατακτικό αριθμό — και, επομένως, όλα τα πιθανά όντα των οποίων η μορφή είναι φυσική — αντιβαίνει στην απαγόρευση τού να ανήκει στον εαυτό του και, ως εκ τούτου, δεν έχει ύπαρξη. Πρέπει εν προκειμένω να υιοθετηθεί η θέση τού Καντ ότι είναι απαράδεκτη κάθε κοσμολογική αντίληψη για το Όλο. Αν, επομένως, υποτεθεί ότι το άπειρο υπάρχει, τότε η ύπαρξή του πρέπει να λάβει τη μορφή ενός ή περισσοτέρων φυσικών όντων και όχι αυτή τής «Μεγάλης Ολότητας». Τόσον όσον αφορά το άπειρο όσο και γενικότερα, το πολλαπλό-ένα [=πολλαπλή μονάδα] — το αποτέλεσμα, δηλαδή, τής παρουσίασης — θα υπερισχύει έναντι τής χίμαιρας τού υπερσυνόλου όλων των συνόλων.

Ένα πρόσθετο εμπόδιο που αντιμετωπίζουμε έχει να κάνει με την ομοιογένεια τού οντολογικού σχήματος των φυσικών πολλαπλών. Εάν η ποιοτική αντίθεση μεταξύ απείρου και πεπερασμένου διαπερνά την έννοια τού διατακτικού, αυτό οφείλεται στο ότι υπάρχουν δύο θεμελιωδώς διαφορετικά είδη φυσικών πολλαπλών όντων. Εάν όντως απαιτείται, εν προκειμένω, μια απόφαση, αυτή θα συνίσταται στην αποδοχή τής ειδοποιού διαφοράς μεταξύ των δύο ειδών και, ως εκ τούτου, στη διάσπαση/διχοτόμηση τής παρουσιαστικής ομοιογένειας τού φυσικού είναι. Το να καθορίσουμε τον τόπο μιας τέτοιας απόφασης σημαίνει ουσιαστικά να σκεφτούμε, όσον αφορά τον ορισμό των διατακτικών, πού ακριβώς εντοπίζεται το εν λόγω ρήγμα — η εννοιολογική ασυνέχεια, η οποία, προκειμένου να θεμελιωθεί η διάκριση των δύο ειδών, προϋποθέτει ως αναγκαία συνθήκη τη νομοθέτηση επί τής ύπαρξής τους. Για το σκοπό αυτό θα χρησιμοποιήσουμε ως οδηγό μας την (ήδη αναληφθείσα) ανασκόπηση τής ιστορίας τής έννοιας τού απείρου (βλ. κεφ. 13).

1. Σημείο-τού-είναι και τελεστής τής διάνυσης/μετάβασης

Όπως ήδη επισημάνθηκε, πρέπει να διαθέτουμε τρία πράγματα προκειμένου να σκεφτούμε την ύπαρξη τού απείρου. Πιο συγκεκριμένα, χρειαζόμαστε κάποιο αρχικό σημείο-τού-είναι, έναν κανόνα για την παραγωγή τού «ίδιου άλλου» και, τέλος, μια υπαρξιακή ένδειξη-σφραγίδα μέσω τής οποίας θα ορίζεται, για το «άλλο», ο τόπος τού Άλλου.

Για την οντολογία, το όνομα τού κενού () αποτελεί το αφετηριακό σημείο-τού-είναι. Επιπλέον, όπως έχει ήδη αναφερθεί (πβ. κεφ. 12), τίποτε δεν απαγορεύει να χρησιμοποιηθεί η συγκεκριμένη ονομασία για τον προσδιορισμό κάποιου φυσικού πολλαπλού. Πρόκειται, εξάλλου, για τη μόνη μέχρι τούδε αποδεκτή υπαρξιακή Ιδέα,[4] ενώ, επιπροσθέτως, η αποδοχή τής ύπαρξης πολλαπλών βάσει τού ονόματος τού κενού (όπως, για παράδειγμα, τής ύπαρξης τού μονοσυνόλου ) είναι συμβατή και με τα υπόλοιπα αξιώματα — τις κατασκευαστικές Ιδέες — τής θεωρίας των συνόλων.

Η διατύπωση ενός κανόνα για τη μετάβαση από το ένα φυσικό πολλαπλό στο άλλο με σημείο αφετηρίας το επιτρέπει την αδιάκοπη κατασκευή και άλλων υπαρκτών πολλαπλών, δηλαδή την «αέναη» διαδικασία παραγωγής «ενός ακόμη» μεταβατικού[5] πολλαπλού τού οποίου τα στοιχεία είναι επίσης μεταβατικά και τού οποίου, επιπλέον, η ύπαρξη θα κρίνεται αποδεκτή σύμφωνα πάντα με τις αξιωματικές Ιδέες τής παρουσίασης τού καθαρού πολλαπλού.

Ως σημείο αναφοράς λαμβάνουμε την υπαρκτή μορφή τού Δύο (κεφ. 12), δηλαδή το πολλαπλό , που έχει ως στοιχεία το κενό και το μονοσύνολο με στοιχείο το ίδιο το κενό. Από το αξίωμα τής αντικατάστασης (κεφ. 5)[6] συνεπάγεται ότι, από τη στιγμή που υπάρχει το Δύο, θα υπάρχουν επίσης και όλα τα σύνολα που προκύπτουν από την αντικατάσταση των στοιχείων τού εν λόγω Δύο[7] από άλλα στοιχεία των οποίων η ύπαρξη θεωρείται ήδη δεδομένη. Κατ’ αυτόν τον τρόπο αποκτούμε την αφηρημένη έννοια τού Δύο: εάν, λοιπόν, υπάρχουν τα στοιχεία α και β, τότε θα υπάρχει και το σύνολο που περιέχει τα στοιχεία α και β και μόνον αυτά (δηλαδή, το σύνολο που κατασκευάζω αντικαθιστώντας τα στοιχεία και τού υπαρκτού Δύο με τα α και β αντιστοίχως). Το σύνολο ονομάζεται «ζεύγος» των α και β. Πρόκειται, με άλλα λόγια, για την πρόσδοση δυαδικής μορφής [mise-en-deux] στα [ξεχωριστά] στοιχεία α και β.

Με βάση, λοιπόν, το «ζεύγος», ορίζουμε στη συνέχεια την κλασσική πράξη τής ένωσης δύο συνόλων, δηλ. το σύνολο , που θα περιέχει («συνενωμένα» [mis ensemble]) τα στοιχεία τού α και τού β [και μόνον αυτά]. Έστω λοιπόν το ζεύγος . Το αξίωμα τής ένωσης (κεφ. 5)[8] ορίζει ότι υπάρχει το σύνολο το οποίο έχει στοιχεία τα στοιχεία των στοιχείων ενός δεδομένου συνόλου (δηλαδή, ότι υπάρχει η «διασπορά» [dissémination] τού εν λόγω [υπαρκτού] συνόλου). Εάν, λοιπόν, υπάρχει το ζεύγος ¸ τότε θα υπάρχει και η ένωσή του , που έχει στοιχεία τα στοιχεία των στοιχείων τού ζεύγους, δηλαδή τόσο τα στοιχεία τού α όσο και τα στοιχεία τού β. Κατ’ αυτόν τον τρόπο, καταλήγουμε στο ζητούμενο. Κατόπιν, ορίζουμε ότι  είναι κανονική έκφραση για το . Επιπλέον, όπως μόλις είδαμε, εάν υπάρχουν τα α και β, τότε θα υπάρχει και η ένωσή τους .

Επομένως, ο κανόνας τής μετάβασης λαμβάνει την εξής μορφή:

Με βάση, λοιπόν, ένα δεδομένο διατακτικό [εν προκειμένω, το α], ο συγκεκριμένος κανόνας «παράγει» ένα νέο πολλαπλό, τ.έ. την ένωση τού εν λόγω διατακτικού και τού μονοσυνόλου του. Επομένως, η ένωση θα παρουσιάζει ως στοιχεία όχι μόνο τα στοιχεία τού ίδιου τού α αλλά επιπλέον και το ίδιο το α, που, μάλιστα, θα λέγαμε πως παρουσιάζεται εδώ «αυτοπροσώπως», καθόσον αποτελεί το μοναδικό στοιχείο τού μονοσυνόλου του [δηλ. τού ]. Με λίγα λόγια, θα έχουμε προσθέσει στο διατακτικό α το όνομά του — ή, κατ’ ισοδύναμη διατύπωση, το πολλαπλό-ένα[9] α στα πολλαπλά που αυτό παρουσιάζει.

Να σημειωθεί ότι με αυτόν τον τρόπο κατασκευάζουμε κάτι-άλλο. Πράγματι, είδαμε ότι το α είναι μεν στοιχείο τού [πολλαπλού] , όχι όμως και στοιχείο τού εαυτού του (τού α), και τούτο διότι αποκλείεται να ισχύει . Επομένως, βάσει τού αξιώματος τής έκτασης,[10] το α είναι διάφορο τού , διότι διαφέρει από αυτό κατά ένα πολλαπλό (τ.έ. το ίδιο το α).

Στο εξής, γράφουμε το με τη μορφή , το οποίο διαβάζεται «ο διάδοχος [ή επόμενος διατακτικός] τού α». Ο εν λόγω κανόνας μάς επιτρέπει να «μεταβούμε» από έναν διατακτικό αριθμό στον διάδοχό του.

Αυτό το «άλλο», που είναι ο διάδοχος διατακτικός αριθμός, είναι συγχρόνως και ένα «ίδιο», λόγω τού ότι ο επόμενος ενός διατακτικού είναι και ο ίδιος διατακτικός αριθμός. Πρόκειται, λοιπόν, για έναν κανόνα μετάβασης που ενυπάρχει στα φυσικά πολλαπλά. Ας το αποδείξουμε.

Εν προκειμένω, ισχύει αφενός ότι όλα τα στοιχεία τού είναι μεταβατικά. Πράγματι, εφόσον το α είναι διατακτικός αριθμός, τότε τόσο ο ίδιος όσο και τα στοιχεία του είναι μεταβατικά, ενώ γνωρίζουμε ήδη ότι το  αποτελείται ακριβώς από όλα τα στοιχεία τού α, με την επιπλέον προσθήκη τού ίδιου τού α.

Αφετέρου το πολλαπλό είναι και το ίδιο μεταβατικό. Πράγματι, έστω . Τότε,

— είτε ισχύει ότι και επομένως [11] (λόγω τού ότι το α είναι μεταβατικό). Αλλά, καθώς ισχύει ότι , πρέπει να ισχύει και ότι . Αλλά, εφόσον το υποσύνολο ενός υποσυνόλου είναι και το ίδιο υποσύνολο,[12] τότε έχουμε ότι ·

— είτε ότι και, επομένως, ότι , λόγω τού ότι .

Επιπλέον, κάθε πολλαπλό που ανήκει στο περιέχεται σε αυτό. Από τα ανωτέρω προκύπτει, λοιπόν, ότι το είναι μεταβατικό.

Από τη στιγμή, λοιπόν, που το α είναι διατακτικός αριθμός, το ίδιο θα ισχύει και για το , αφού, όπως δείξαμε, το είναι μεταβατικό πολλαπλό τού οποίου όλα τα στοιχεία είναι επίσης μεταβατικά.

Εξάλλου, ο όρος «επόμενος διατακτικός» έχει πολύ συγκεκριμένη σημασία. Το να πούμε ότι ο είναι ο επόμενος διατακτικός, ότι δηλαδή είναι ο διατακτικός αριθμός που έπεται αμέσως τού α, σημαίνει ακριβώς ότι κανένας άλλος διατακτικός δεν μπορεί να παρεμβληθεί «μεταξύ» τού α και τού . Σύμφωνα με ποιον κανόνα διάταξης ισχύει κάτι τέτοιο; Σύμφωνα με την ίδια τη σχέση τού «ανήκειν» που, όσον αφορά τους διατακτικούς, είναι σχέση ολικής διάταξης (πβ. κεφ.12), υπό την έννοια ότι δεν μπορεί να υπάρχει κανένας διατακτικός β τέτοιος ώστε .

Δεδομένου ότι , η έκφραση σημαίνει:

— είτε ότι , πράγμα που επίσης σημαίνει ότι αποκλείεται να ισχύει ¸ διότι ως σχέση διάταξης μεταξύ διατακτικών αριθμών η σχέση τού ανήκειν είναι μεταβατική και τότε εκ των και θα συναγόταν η σχέση , που είναι άτοπο.

— είτε ότι , που ισοδυναμεί με το ότι , καθώς το α είναι το μοναδικό στοιχείο τού μονοσυνόλου του . Αλλά είναι προφανές ότι από την ισότητα προκύπτει ότι αποκλείεται να ισχύει , λόγω τού ότι η σχέση τού ανήκειν-εις-εαυτόν απορρίπτεται πάντοτε ως άτοπη.

Σε κάθε, λοιπόν, περίπτωση, ισχύει ότι δεν μπορεί να παρεμβληθεί κάποιος διατακτικός β μεταξύ τού α και τού . Βλέπουμε επομένως ότι ο κανόνας τής διαδοχής έχει μία και μόνο σημασία.[13] Επιτρέπει τη μετάβαση από έναν διατακτικό στον μοναδικό επόμενο διατακτικό σύμφωνα με τη σχέση τού ανήκειν η οποία, όπως αναφέρθηκε, είναι σχέση ολικής διάταξης.

Παίρνοντας ως αρχικό σημείο-τού-είναι το κατασκευάζουμε κατ’ αυτόν τον τρόπο την ακολουθία των υπαρκτών διατακτικών (δεδομένου ότι υπάρχει το :

Κατά μια πρώτη, «διαισθητική» προσέγγιση, θα μπορούσε εύλογα να υποστηριχθεί ότι έτσι «κατασκευάσαμε εκ τού μηδενός» μια απειρία διατακτικών και ότι, ως εκ τούτου, αποφανθήκαμε υπέρ τής φυσικής απειρότητας. Ωστόσο, αυτό θα σήμαινε ότι υποκύψαμε στα απατηλά θέλγητρα τής Ολότητας. Το ότι αυτό που προκύπτει μέσω τής επανάληψης τού αποτελέσματος που υπαγορεύεται από κάποιο κανόνα είναι η απροσδιοριστία των «ίδιων άλλων» και όχι κάποιο υπαρκτό άπειρο ήταν, στην πραγματικότητα, κοινός τόπος για όλους τους κλασικούς φιλοσόφους. Εξάλλου, µπορεί να διαπιστωθεί διαισθητικά ότι οι παραγόμενοι με αυτόν τον τρόπο διατακτικοί είναι όλοι τους ανεξαιρέτως πεπερασμένοι. Ως ο νι-οστός διάδοχος τού ονόματος τού κενού, καθένας εξ αυτών θα έχει ν στοιχεία, όλα τους κατασκευασμένα από το κενό με την επαναληπτική διαδικασία τής ενο-ποίησης [mise-en-un].[14] Εξάλλου, καμία από τις αξιωματικές Ιδέες τού καθαρού πολλαπλού δεν μας επιτρέπει να συνθέσουμε σε ένα ενιαίο σύνολο τους διατακτικούς που μας είναι προσιτοί μέσω τής εφαρμογής τού κανόνα τής διαδοχής. Καθένας εξ αυτών υπάρχει σε συνάρτηση με τη διαδικασία παραγωγής «ενός ακόμη» διατακτικού,[15] δυνάμει τής οποίας η ετερότητα κάθε διατακτικού προσδιορίζεται αναδρομικά ως ταυτότητα. Με άλλα λόγια, θα προσδιορίζεται τελικά ως όμοιος μεταξύ ομοίων, παραμένοντας στις παρυφές τής διαδικασίας τής επανάληψης στην οποία υπόκειται. Ωστόσο, η Ολότητα είναι απρόσιτη.[16] Εδώ ανοίγεται ένα αβυσσαλέο χάσμα που μπορεί να γεφυρωθεί μέσω μόνο μιας απόφασης.

2. Διαδοχή και όριο

Μεταξύ των διατακτικών αριθμών, των οποίων η ύπαρξη θεμελιώνεται στον κανόνα κατασκευής τής ακολουθίας τους, διακρίνεται καταρχάς ο ως απολύτως εξαιρετική περίπτωση, τόσο εν γένει, όσο και ως προς τη σημασία του για την οντολογία στο σύνολό της. Στην ακολουθία των διατακτικών, κάθε διατακτικός διάφορος τού θα έπεται ενός άλλου. Γενικότερα, μπορούμε να δώσουμε τον ακόλουθο ορισμό καθολικής ισχύος: «Ένας διατακτικός α λέγεται επόμενος διατακτικός (και γράφεται ως ,[17] εάν υπάρχει κάποιος διατακτικός β τού οποίου έπεται ο α: ».

Δεν υφίσταται καμία αμφιβολία ως προς την ύπαρξη των επόμενων διατακτικών, καθώς κατασκευάσαμε ήδη μια σειρά από αυτούς. Το πραγματικό διακύβευμα τής απόφασης όσον αφορά το άπειρο εντοπίζεται στην ύπαρξη ή μη διατακτικών αριθμών που δεν είναι επόμενοι. Δίνουμε, λοιπόν, τον εξής ορισμό: «Ένας διατακτικός α καλείται οριακός διατακτικός (και γράφεται ως , αν δεν έπεται κανενός άλλου διατακτικού (πχ. κάποιου β): ».

Αν επομένως υποθέσουμε ότι υπάρχει κάποιος οριακός διατακτικός, τότε η εσωτερική του δομή πρέπει να να διαφέρει από αυτή τού επόμενου διατακτικού. Εδώ ακριβώς εντοπίζεται μια ποιοτική ασυνέχεια στο ομοιογενές σύμπαν των φυσικών πολλαπλών. Όσον αφορά λοιπόν το άπειρο, το στοίχημα επικεντρώνεται σε αυτού τού είδους την ασυνέχεια και τούτο διότι ο οριακός διατακτικός θα αντιπροσωπεύει, για την ακολουθία των «ίδιων άλλων» που ανήκουν σε αυτόν, τον τόπο τού Άλλου.

Το κρίσιμο σημείο είναι το εξής: εάν κάποιος διατακτικός [β] ανήκει σε έναν οριακό διατακτικό, το ίδιο θα ισχύει και για τον επόμενό του διατακτικό.[18] Πράγματι, εάν ισχύει ότι (όπου α κάποιος οριακός διατακτικός), τότε αποκλείεται να ισχύει ¸ γιατί στην περίπτωση αυτή ο α θα παρεμβαλλόταν μεταξύ τού β και τού (και μόλις δείξαμε[19] ότι κάτι τέτοιο θα ήταν άτοπο). Επιπλέον, αποκλείεται να ισχύει ότι , διότι ως οριακός διατακτικός ο α δεν είναι[20] επόμενος κάποιου άλλου. Επομένως, καθώς η σχέση τού ανήκειν είναι σχέση ολικής διάταξης για τους διατακτικούς, από το άτοπο που προκύπτει από τις σχέσεις και συμπεραίνουμε λοιπόν ότι .

Εν όψει των ανωτέρω προκύπτει ότι μεταξύ ενός οριακού διατακτικού και ενός διατακτικού που του ανήκει παρεμβάλλεται μια «απειρία» διατακτικών αριθμών (όπου ο όρος «απειρία» νοείται εδώ με τη διαισθητική έννοια). Πράγματι, εάν  και ο α είναι οριακός, τότε έχουμε ότι , κ.ο.κ. Είναι προφανές ότι ο οριακός διατακτικός είναι ο Άλλος-τόπος όπου εγγράφεται αενάως ο άλλος τής διαδοχής. Βλέπουμε λοιπόν ότι, στο σύνολό της, η ακολουθία των επόμενων διατακτικών που κατασκευάζονται διαδοχικά βάσει τού κανόνα S έχοντας ως αφετηρία κάποιον διατακτικό που ανήκει σε έναν οριακό διατακτικό, θα ξεδιπλώνεται «στο εσωτερικό» τού δεδομένου οριακού, με την έννοια ότι θα ανήκουν σε αυτόν όλοι οι όροι τής εν λόγω ακολουθίας. Συγχρόνως, όμως, ο ίδιος ο οριακός θα είναι Άλλος, καθώς δεν μπορεί ποτέ να είναι ο «ακόμη ένας» διατακτικός που διαδέχεται κάποιον άλλο.

Άλλη μια δομική διαφορά που παρατηρούμε ανάμεσα στους επόμενους και τους οριακούς διατακτικούς είναι ότι οι πρώτοι, σε αντίθεση με τους δεύτερους, περιέχουν εντός τους ένα μέγιστο πολλαπλό. Αυτό συμβαίνει γιατί εάν κάποιος διατακτικός α είναι τής μορφής , τ.έ. , τότε ο β που του ανήκει θα είναι ο μέγιστος μεταξύ όλων των διατακτικών που συνθέτουν τον α (όπου η σύγκριση θα γίνεται σύμφωνα με τη σχέση διάταξης τού «ανήκειν»). Έχουμε ήδη δει ότι κανένας διατακτικός δεν παρεμβάλλεται μεταξύ τού και τού . Επομένως, ο διατακτικός β είναι αναμφίβολα το μέγιστο πολλαπλό μεταξύ αυτών που περιέχονται στο . Απεναντίας, κανένας μέγιστος όρος που να έχει αυτή τη μορφή δεν μπορεί να ανήκει σε κάποιον οριακό διατακτικό. Διότι, έστω ότι ισχύει ότι . Τότε, εφόσον ο α είναι οριακός, θα υπάρχει κάποιος γ τέτοιος ώστε . Όσον αφορά λοιπόν τους επόμενους διατακτικούς, το οντολογικό σχήμα τού «διατακτικού» ταιριάζει σε αυστηρά ιεραρχημένα — τρόπον τινά «κλειστά» — φυσικά πολλαπλά, όπου μπορεί να προσδιοριστεί, κατά σαφή και εγγενή τρόπο, ο όρος που κυριαρχεί. Αντιθέτως, οι οριακοί διατακτικοί αποτελούν τυποποίηση τής οντολογικής υποδομής των «ανοικτών» φυσικών πολλαπλών, υπό την έννοια ότι στην εσωτερική τους διάταξη δεν περιέχεται κανένας μέγιστος όρος, με αποτέλεσμα να είναι τρόπο τινά άνευ πέρατος και ορίου. Εν προκειμένω, ο οριακός διατακτικός θα αποτελεί τον κυρίαρχο όρο τής διάταξης, παραμένοντας ωστόσο εκτός αυτής. Πράγματι, εφόσον αποκλείεται να ανήκει στον εαυτό του, ο οριακός θα ίσταται εκτός [ek-siste] τής ακολουθίας για την οποία αποτελεί το όριο.

Ο οριακός διατακτικός είναι άμοιρος[21] τού ταυτού, που περιέχεται στο έτερο φέροντας την ένδειξη «ακόμη [-ένα]». Ο οριακός είναι το μη-ταυτό για όλη την ακολουθία των επόμενων διατακτικών που προηγούνται αυτού· δεν είναι «ένας ακόμη» διατακτικός, αλλά η πολλαπλή-Μονάδα[22] όπου, υπό μορφή εξαίρεσης [ek-sistance],[23] συντελείται αδιάκοπα η εφαρμογή τού κανόνα τής ακολουθίας. Όσον αφορά τις ακολουθίες διατακτικών, όπως αυτή που κατασκευάσαμε πιο πάνω περνώντας διαδοχικά από τον έναν διατακτικό στον επόμενό του, ο οριακός διατακτικός είναι εκείνο μέσω τού οποίου καταγράφεται ως εξαίρεση — πέρα δηλαδή από τη χωριστή ύπαρξη καθενός από τους όρους τής δεδομένης ακολουθίας — η καθαυτό διαδικασία τής διάνυσης. Πρόκειται για το πολλαπλό-υπόβαθρο όπου αποτυπώνονται ο ένας μετά τον άλλο οι διανυθέντες διατακτικοί. Στον οριακό διατακτικό, στον οποίο, όπως αναφέρθηκε, ανήκουν όλοι οι όροι μιας δεδομένης ακολουθίας, συναιρείται ο τόπος τής ετερότητας με το σημείο-τού-Άλλου, καθώς το όνομά του θα χρησιμοποιείται για τον προσδιορισμό ενός και μοναδικού διατακτικού α που βρίσκεται επέκεινα εκείνων που εμφανίζονται στη δεδομένη ακολουθία. Εξ αυτού απορρέει και η ονομασία του ως οριακού, καθώς, ως «τελικός» όρος[24] τον οποίο προσεγγίζει επ’ άπειρον μια δεδομένη ακολουθία, θα καθορίζει την ύπαρξή της ως ενιαίου και συνεκτικού πολλαπλού.

Η εν λόγω «συναίρεση», η οποία πραγματοποιείται οριακά μεταξύ τού τόπου τού Άλλου και τής μονάδας[25] του, έχοντας ως σημεία αναφοράς ένα δεδομένο αρχικό σημείο-τού-είναι (εν προκειμένω, το κενό σύνολο ()) και έναν κανόνα μετάβασης (εν προκειμένω, τον κανόνα τής ακολουθίας), μας δίνει την γενική έννοια τού απείρου.

3. Η δεύτερη υπαρξιακή σφραγίδα

Στο παρόν στάδιο τής ανάλυσης, τίποτε δεν μας υποχρεώνει να αποδεχτούμε την ύπαρξη ενός οριακού διατακτικού. Όλες οι αξιωματικές Ιδέες για το πολλαπλό τις οποίες χρησιμοποιήσαμε μέχρι τώρα (δηλ. τα αξιώματα τής έκτασης, τής συμπερίληψης, τής ένωσης, τού διαχωρισμού, τής αντικατάστασης και τού κενού) — ακόμα και αν προσθέσουμε σε αυτές τα αξιώματα τής θεμελίωσης [ή κανονικότητας] και τής επιλογής (βλ. κεφ.18 & 22 αντίστοιχα) — είναι απόλυτα συμβατές με τη μη-ύπαρξη ενός τέτοιου διατακτικού. Έχουμε, βέβαια, διαπιστώσει την «ύπαρξη» μιας ακολουθίας διατακτικών, η οποία κατασκευάστηκε έχοντας ως αρχικό σημείο-τού-είναι το κενό, αλλά η οποία δεν μπορεί να διανυθεί πλήρως με βάση τον κανόνα τής διαδοχής. Επομένως, αν θέλουμε να ακριβολογήσουμε, θα πρέπει να πούμε ότι, εν προκειμένω, αυτό που υπάρχει δεν είναι η ακολουθία αυτή καθ’ εαυτήν, αλλά εις έκαστος εκ των (πεπερασμένων) όρων της. Μόνο μια νέα αξιωματική απόφαση θα μας επέτρεπε να συνθέσουμε σε ενιαίο όλο την ίδια την ακολουθία των διατακτικών. Η εν λόγω απόφαση, η οποία, στο επίπεδο τού οντολογικού σχήματος των φυσικών πολλαπλών, καταφάσκει την ύπαρξη τού απείρου, δίνοντας τυπική μορφή στην ιστορική τομή που πραγματοποιήθηκε από τους φυσικούς φιλοσόφους τού 17ου αιώνα, μπορεί να διατυπωθεί απλά ως εξής: «υπάρχει κάποιο οριακό διατακτικό». Η εν λόγω υπαρξιακή δήλωση, η οποία είναι η δεύτερη που διατυπώνουμε μετά την αποδοχή τής ύπαρξης τού ονόματος τού κενού, αποτελεί λοιπόν τη δεύτερη υπαρξιακή σφραγίδα επί τής οποίας θεμελιώνεται η απειρότητα τού είναι.

4. Επιτέλους ένας ορισμός για το άπειρο

Το να πούμε ότι «υπάρχει κάποιο οριακό διατακτικό» συνιστά, λοιπόν, τη δεύτερη υπαρξιακή δήλωση στην οποία προβαίνουμε μετά από εκείνη για την ύπαρξη τού ονόματος τού κενού. Ωστόσο, αυτό δεν σημαίνει ότι έτσι πραγματοποιείται μια νέα συρραφή μεταξύ τού οικοδομήματος των αξιωματικών Ιδεών για το πολλαπλό και τού είναι-ως-τέτοιου. Όπως συμβαίνει και για τα υπόλοιπα πολλαπλά, το πρωταρχικό σημείο-τού-είναι ενός οριακού διατακτικού είναι το ίδιο το κενό, ενώ τα στοιχεία του[26] δεν είναι παρά δομές που αποτελούν συνδυασμούς τού κενού με τον εαυτό του και οι οποίες διέπονται από τα αξιώματα τής συνολοθεωρίας. Από αυτή την άποψη, το άπειρο δεν συνιστά επ’ ουδενί ένα «δεύτερο είδος» τού Είναι που θα ερχόταν να προστεθεί στο οντολογικό είδος που προκύπτει από το κενό. Χρησιμοποιώντας τη γλώσσα τής αρχαιοελληνικής φιλοσοφίας, θα λέγαμε επομένως ότι δεν υπάρχουν δύο Αρχές (δηλαδή, το κενό και το άπειρο), και τούτο παρά την παραδοχή, εκ μέρους μας, των δύο αντίστοιχων υπαρξιακών αξιωμάτων. Η «ύπαρξη» επομένως τού απείρου είναι δεύτερη τη τάξει, γιατί εξαρτάται από την προϋπόθεση ότι το κενό είναι ήδη στοιχείο του (πράγμα που καθίσταται προφανές από την αξιωματική τυποποίηση τής αντίστοιχης απόφασης). Στην πραγματικότητα, με την παραδοχή τού εν λόγω αξιώματος έρχεται στην ύπαρξη ο Άλλος των άλλων, δηλαδή ο τόπος όπου πραγματοποιείται μια επανάληψη, το πεδίο όπου εφαρμόζεται ένας συγκεκριμένος τελεστής (αυτός τής διαδοχής). Κατ’ αντιδιαστολή, το συγκαλεί στην οντολογική παρουσίαση το Είναι-ως-τέτοιο. Η απόφαση για την ύπαρξη ενός οριακού διατακτικού αφορά τη δύναμη τού Είναι και όχι το καθαυτό του Είναι. Το άπειρο δεν εγκαινιάζει ένα δόγμα περί συμμείξεως, όπου το Είναι θα προέκυπτε συνολικά από το διαλεκτικό παιχνίδι δύο ετερογενών μορφών. Το μόνο που υπάρχει είναι το κενό και οι [αξιωματικές] Ιδέες. Εν ολίγοις, στο αξίωμα ύπαρξης ενός οριακού διατακτικού υποκρύπτεται μια Ιδέα με τη μορφή, απλώς, μιας υπαρξιακής πρότασης. Και πιο συγκεκριμένα, η Ιδέα ότι μέσω μιας επανάληψης (τού «ακόμη ένα») θα καλείται να εμφανιστεί η συναίρεση τού τόπου και τού εν-είναι της[27] προκειμένου αυτή[28] να λάβει μια δεύτερη υπαρξιακή σφραγίδα («σημείο» που αποτυπώνεται υποδειγματικά στον στίχο τού Μαλαρμέ: «μακριά μέχρι εκεί που συναιρείται ένας τόπος με ένα επέκεινα»).[29] Και καθώς στην οντολογία η ύπαρξη ταυτίζεται με το πολλαπλό-ένα, ο εντοπισμός και η αναγνώριση τού τόπου που είναι και ένα επέκεινα λαμβάνει τη μορφή τής επέκτασης [adjonction] τού σώματος των πολλαπλών με έναν ακόμη διατακτικό.

Παρόλα αυτά, δεν έχουμε καταφέρει ακόμη να δώσουμε έναν ορισμό για το άπειρο. Δηλώσαμε απλώς ότι υπάρχει κάποιο οριακό διατακτικό. Από τη δήλωση όμως αυτή δεν συνάγεται ότι η έννοια τού απείρου ταυτίζεται με την έννοια τού οριακού διατακτικού και ότι, ακολούθως, η έννοια τού πεπερασμένου με εκείνη τού επόμενου διατακτικού. Και τούτο γιατί αν α είναι ένας οριακός διατακτικός, ο επόμενος διατακτικός θα είναι «μεγαλύτερος» από αυτόν, καθώς ισχύει ότι . Αν λοιπόν υποθέταμε ότι η έννοια τού επόμενου ταυτίζεται με την έννοια τού πεπερασμένου και ότι, αντίστοιχα, η έννοια τού οριακού με αυτή τού απείρου, θα προέκυπτε αμέσως το εξής «αδιανόητο»: ο «πεπερασμένος» επόμενος  θα ήταν μεγαλύτερος από τον «άπειρο» οριακό α που προηγείται αυτού, πράγμα που θα είχε ως αποτέλεσμα να καθίσταται αναστρέψιμη η χειρονομία «μετάβασης στο άπειρο». Η απόφαση για το άπειρο τού φυσικού-Είναι αφορά μεν πράγματι τους οριακούς, αλλά ο ορισμός πάνω στον οποίο στηρίζεται η εν λόγω απόφαση είναι εντελώς άλλης φύσης, πράγμα που μπορεί να εκληφθεί ως πρόσθετη απόδειξη τού ότι το «πραγματικό» — ο σκόπελος στον οποίο προσκρούει η σκέψη — σπανίως έχει να κάνει με την εύρεση ενός ορθού ορισμού. Θα λέγαμε μάλλον ότι κάθε επαρκής ορισμός προκύπτει από την εστίαση στο ενικό και έκκεντρο σημείο όπου γίνεται για πρώτη φορά αισθητή η ανάγκη να τεθεί εκ νέου το ζήτημα τού προσανατολισμού [sens],[30] έστω και αν κάτι τέτοιο φαντάζει άσχετο με το αρχικό πρόβλημα. Η λογική τού ριψοκίνδυνου ελιγμού υπαγορεύει τον αναπροσανατολισμό τού υποκειμένου προς την κατεύθυνση ενός σημείου που απέχει ανυπολόγιστα από το αρχικό του αντικείμενο. Και είναι αυτός ο λόγος για τον οποίο δεν υπάρχει μία και μοναδική Μέθοδος.

Στο κεφάλαιο 12, επισημάνθηκε ότι η ελαχιστότητα αποτελεί μια θεμελιώδη ιδιότητα των διατακτικών. Πιο συγκεκριμένα, αν υπάρχει κάποιος διατακτικός που ικανοποιεί μια δεδομένη ιδιότητα, τότε υπάρχει μοναδικός διατακτικός που είναι -ελάχιστος για τη συγκεκριμένη ιδιότητα (πράγμα που σημαίνει ότι η εν λόγω ιδιότητα δεν ικανοποιείται από κανένα από τα στοιχεία του). Επιπλέον, η ιδιότητα τού «να είναι οριακός διατακτικός» πρέπει να εκφράζεται από έναν τύπο  με μια ελεύθερη μεταβλητή, ενώ το αξίωμα ότι «υπάρχει κάποιος οριακός» δηλώνει ουσιαστικά ότι υπάρχει τουλάχιστον ένας διατακτικός που ικανοποιεί τη συγκεκριμένη ιδιότητα. Από τα ανωτέρω, λοιπόν, συμπεραίνουμε ότι υπάρχει μοναδικός διατακτικός που είναι -ελάχιστος για την εν λόγω ιδιότητα.[31] Έτσι προκύπτει ο ελάχιστος οριακός διατακτικός, «κάτω από» τον οποίο δεν υπάρχουν παρά μόνο επόμενοι διατακτικοί (εξαιρουμένου τού κενού). Το συγκεκριμένο οντολογικό σχήμα[32] είναι θεμελιώδους σημασίας, διότι προσδιορίζει το κατώφλι τού απείρου. Με άλλα λόγια, ορίζει το πολλαπλό που ήδη από την εποχή τής αρχαίας ελληνικής φιλοσοφίας είχε αξία υποδείγµατος για τη μαθηματική σκέψη. Πρόκειται για το πολλαπλό (ή ή άλεφ-μηδέν, όπως καθιερώθηκε να αποκαλείται). Το όνομα λειτουργεί ως φορέας για την παρουσίαση, με τη μορφή ενός πολλαπλού, τής πρώτης ύπαρξης που συνεπάγεται η απόφαση για την απειρότητα τού είναι. Έτσι, τίθεται η εν λόγω απόφαση σε εφαρμογή, με τη μορφή ενός συγκεκριμένου καθαρού πολλαπλού. Στο πλαίσιο τής φυσικής ομοιογένειας, ο αντιπροσωπεύει το χείλος τού ρήγματος που χωρίζει την (κλειστή και ιεραρχική) ακολουθία των επόμενων από την ανοικτή ακολουθία των οριακών, η οποία σφραγίζεται από την ύπαρξη ενός εξ-ιστάμενου όρου.

Η θεμελίωση τού ορισμού τού απείρου γίνεται στο χείλος αυτής τής αβύσσου: ένας οριακός θα καλείται άπειρος εάν είναι ο ή εάν του ανήκει ο , ενώ θα καλείται πεπερασμένος εάν ανήκει στον .

Όσον αφορά λοιπόν τα φυσικά πολλαπλά, «» είναι το όνομα που προσδιορίζει τη διαίρεσή τους σε πεπερασμένα και άπειρα. Σε επίπεδο φυσικής διάταξης, το μαθήμιο τού απείρου προϋποθέτει απλώς ότι ο προσδιορίζεται από την ιδιότητα τής ελαχιστότητας τού ορίου — βάσει τής οποίας ορίζεται ένας μοναδικός διατακτικός (πράγμα που άλλωστε δικαιολογεί τη χρήση συγκεκριμένης ονομασίας []):

ενώ, όσον αφορά τους άπειρους (Inf) και τους πεπερασμένους (Fin) διατακτικούς, τίθενται οι εξής πρόσθετοι ορισμοί:

Ο θα «παρουσιάζει»[33] πεπερασμένα φυσικά πολλαπλά. Αντιθέτως, κάθε τι που «παρουσιάζει»[34] τον είναι άπειρο. Ο , στο σημείο τής διαίρεσης, θα αποκαλείται άπειρος, καθώς, αφού βρίσκεται στην πλευρά τού ορίου, δεν έπεται κανενός άλλου διατακτικού.[35]

Από τα άπειρα σύνολα, κάποια θα είναι «επόμενοι διατακτικοί» (π.χ. ο επόμενος τού : ), ενώ άλλα θα είναι «οριακοί» (π.χ. ο ). Αντιθέτως, κάθε πεπερασμένο σύνολο είναι επόμενος διατακτικός (εξαιρουμένου τού ). Βλέπουμε λοιπόν ότι, όσον αφορά τη φυσική παρουσίαση, ο κρίσιμος για τον διαχωρισμό τελεστής (βάσει, δηλαδή, τού οποίου διακρίνονται οι επόμενοι από τους οριακούς διατακτικούς) δεν συστοιχίζεται με τον διαχωρισμό μεταξύ απείρου/πεπερασμένου, όπως αυτός προκύπτει από την εφαρμογή του.

Από αυτή την άποψη, πρέπει να επισημανθεί ο εξαιρετικός χαρακτήρας τού . Λόγω τής ιδιότητας τής ελαχιστότητας, ο είναι, πράγματι, ο μόνος άπειρος διατακτικός στον οποίο δεν ανήκει κανένας οριακός. Σε όλους τους υπόλοιπους οριακούς θα ανήκει τουλάχιστον ο οριακός , ο οποίος βεβαίως δεν μπορεί να ανήκει στον εαυτό του. Υπάρχει. λοιπόν, μια αγεφύρωτη άβυσσος ανάμεσα στους πεπερασμένους διατακτικούς (σε όσους, δηλαδή, ανήκουν στον ) και τον ίδιο τον .

Το να γνωρίζουμε εάν στο σώμα των άπειρων πολλαπλών διανοίγεται εκ νέου ένα ανάλογο ρήγμα είναι ένα από τα σοβαρότερα προβλήματα που αντιμετωπίζει η διδασκαλία τού πολλαπλού (πρόβλημα που, ας σημειωθεί, έχει γίνει γνωστό ως θεωρία των «μεγάλων πληθικών αριθμών»). Εν προκειμένω, το ζήτημα που τίθεται είναι αν μπορεί να υπάρχει ένας άπειρος διατακτικός μεγαλύτερος από τον , τέτοιος ώστε να μην μπορεί να προσεγγιστεί με βάση τις διαθέσιμες κατασκευαστικές διαδικασίες. Πρόκειται, δηλαδή, για το ζήτημα τής απουσίας κάθε δυνατής διαμεσολάβησης μεταξύ τού εν λόγω διατακτικού και των άπειρων πολλαπλών που προηγούνται αυτού, κατά τρόπο ανάλογο με αυτό που συμβαίνει όσον αφορά τους πεπερασμένους διατακτικούς και τον Άλλο τους (τον ).

Είναι, μάλιστα, χαρακτηριστικό ότι για την κατάφαση μιας τέτοιας ύπαρξης[36] απαιτείται μια νέα απόφαση, η διατύπωση ενός νέου αξιώματος για το άπειρο.

5. Δεύτερο και καταϊδρωμένο, το πεπερασμένο[37]

Σε επίπεδο ύπαρξης, το πεπερασμένο είναι πρώτο τη τάξει, διότι το εκλαμβάνεται ως η αρχική οντότητα, από την οποία κατασκευάζονται όλα τα υπόλοιπα «πεπερασμένα» πολλαπλά (, κ.ο.κ.). Ωστόσο, σε επίπεδο έννοιας, το πεπερασμένο έρχεται δεύτερο. Πράγματι, τα σύνολα χαρακτηρίζονται «πεπερασμένα» δυνάμει μόνον τού αναδρομικού αποτελέσματος τής ύπαρξης τού οριακού διατακτικού . Διαφορετικά, τα εν λόγω πολλαπλά δεν θα είχαν καμία άλλη ιδιότητα εκτός αυτής τού υπαρκτού πολλαπλού-ένα [un-multiple existant].[38] Στο μαθήμιο τού πεπερασμένου (δηλ. στην έκφραση ) βλέπουμε ότι το σχετικό κριτήριο εξαρτάται από την προγενέστερη απόφαση για την ύπαρξη οριακών διατακτικών. Το γεγονός ότι στην αρχαία ελληνική φιλοσοφία το είναι ταυτίζεται με το πεπερασμένο οφείλεται στο ότι, εν απουσία μιας απόφασης για την ύπαρξη τού απείρου, κάθε τι που υπάρχει δεν μπορεί, τελικά, παρά να ταυτίζεται με το «πεπερασμένο». Κατ’ αυτόν τον τρόπο, η ουσία τού πεπερασμένου δεν μπορεί να είναι άλλη από αυτή τού πολλαπλού-Είναι ως τέτοιου. Ωστόσο, από τη στιγμή που λαμβάνεται η απόφαση υπέρ τής ύπαρξης άπειρων φυσικών πολλαπλών, το πεπερασμένο αντιμετωπίζεται πλέον, ως ένα από τα υποπεδία τού είναι, ως μια ελάσσονα μορφή τής παρουσίας του. Η έννοια τού πεπερασμένου μπορεί να αποσαφηνιστεί αποκλειστικά και μόνο βάσει τής εγγενούς φύσης τού απείρου. Μία απó τις πιο βαθιές διαισθήσεις τού Κάντορ ήταν η πεποίθησή του ότι, στο μαθηματικό βασίλειο τής σκέψης, ο αέναος πολλαπλασιασμός των άπειρων οντοτήτων αντιπροσώπευε, πράγματι, τον «παράδεισο» (όπως το έθετε ο Χίλμπερτ), ενώ το πεπερασμένο ερχόταν σε δεύτερη θέση.

Στην πραγματικότητα, η αριθμητική, η βασίλισσα τής ελληνικής σκέψης μέχρι τη «γεωμετρίζουσα» επανάσταση τού Ευδόξου, δεν είναι άλλη από την επιστήμη τού πρώτου οριακού διατακτικού . Αγνοώντας όμως τη λειτουργία του ως Άλλου, η αριθμητική παραμένει δέσμια τής στοιχειακής εμμένειας των πολλαπλών που του ανήκουν, δηλαδή των πεπερασμένων διατακτικών. Η δύναμή της έγκειται στην υπολογιστική κυριαρχία που εξασφαλίζεται μέσω τής διάκλεισης [forclusion][39] τού ορίου και τής ακραιφνούς εφαρμογής τής διαδικασίας συναλύσωσης των «ίδιων άλλων», ενώ η αδυναμία της εντοπίζεται στο ότι αγνοεί την παρουσιαστική ουσία των πολλαπλών που χρησιμοποιεί για τους υπολογισμούς της — άγνοια η οποία αίρεται μόνον εφόσον καταλήξουμε στην απόφαση ότι η ακολουθία των άλλων δεν μπορεί να υπάρξει παρά μόνο στον τόπο τού Άλλου και ότι η διαδικασία τής επανάληψης προϋποθέτει το έκτοπο εκείνο σημείο[40] όπου, έχοντας διακοπεί, η όλη διαδικασία θα παραπέμπει μετωνυμικά [en abîme] στην ολότητα της — δηλαδή στο πολλαπλό-ένα που τη συνιστά και το οποίο στο εξής θα αποκαλείται «άπειρο».

---

[1] [=μορφή, σχήμα]
[2] [=επιστημολογική τομή]
[3] [contra Zermelo ή contra Μοσχοβάκη;· πβ. Σ.Καπελλίδης, Σημειώσεις στη Θεωρία Συνόλων [ΣΘΣ], σελ.228]
[4] [=αξίωμα ύπαρξης: πβ. «Αξίωμα τού κενού συνόλου: Εξασφαλίζει την ύπαρξη κενού συνόλου. Υπάρχει σύνολο χωρίς στοιχεία και μόνον. (Σ.Καπελλίδης, ΣΘΣ,, σελ.232) [εναλλακτικά,  ]]
[5] [«Ένα σύνολο Α λέγεται μεταβατικό, αν και μόνον αν τα στοιχεία των στοιχείων τού Α είναι επίσης στοιχεία τού Α, δηλαδή » (Καπελλίδης, ό.π. σελ.232).]
[6] [πβ.«Αξίωμα τής αντικατάστασης: Έστω τύπος τής θεωρίας των συνόλων, ο οποίος ορίζει απεικόνιση — δηλαδή για κάθε x υπάρχει ακριβώς ένα y, τέτοιο ώστε ο να είναι αληθής. Τότε για κάθε σύνολο A υπάρχει ακριβώς ένα σύνολο B, του οποίου τα στοιχεία είναι τα y και μόνον αυτά που για κάποιο επαληθεύουν τον τύπο , δηλ. » (Καπελλίδης, ό.π. σελ.228-29).]
[7] [Εδώ, ο μεταφραστής τής αγγλικής έκδοσης μεταφράζει άλλα αντί άλλων]
[8] [«Αξίωμα τής ένωσης: Αν ένα σύνολο Α έχει ως στοιχεία σύνολα Β, τότε επιτρέπεται να κατασκευάσουμε το σύνολο, το οποίο θα έχει στοιχεία τα στοιχεία των Β και μόνον αυτά: » (Καπελλίδης, ό.π. σελ.228) [εναλλακτικά, ]
[9] [=πολλαπλή μονάδα, πολλαπλό σύνολο]
[10] [«Αξίωμα τής έκτασης [ή εκτατικότητας]: Ορίζει την έννοια τής ισότητας συνόλων. Δύο σύνολα είναι ίσα, όταν έχουν ακριβώς τα ίδια στοιχεία. ή αλλιώς ένα σύνολο καθορίζεται πλήρως από τα στοιχεία του και μόνον (εξ ου και η έκφραση έκταση)» (Καπελλίδης, ό.π. σελ.227). [εναλλακτικά, ]
[11] [β γνήσιο υποσύνολο τού α]
[12] [τού αρχικού υπερσυνόλου]
[13] [=μονόσημος]
[14] [=μοναδο-ποίησης]
[15] [εναλλακτικά, «σε συνάρτηση με το επόμενο “ακόμα ένα”»]
[16] [Εδώ αναφέρεται εμμέσως και στο ζήτημα των μεγάλων πληθάριθµων (large cardinals)]
[17] [NB: δεν είναι το ίδιο με · σημαίνει ότι ο α είναι επόμενος διατακτικός, ενώ σημαίνει τον επόμενο τού α.]
[18] [δηλ. ο διατακτικός που έπεται τού β θα ανήκει στον οριακό διατακτικό στον οποίο ανήκει και ο β]
[19] [πβ. ανωτέρω «Σε κάθε, λοιπόν, περίπτωση, ισχύει ότι δεν μπορεί να παρεμβληθεί … κ.ο.κ.»
[20] [=εξ ορισμού]
[21] [=εξαιρείται, τίθεται εκτός τού συνόλου των «ίδιων άλλων» διατακτικών]
[22] [=πολλαπλό-Εν]
[23] [=εξαίρεσης από την ακολουθία των επόμενων· πβ. εξαιρώ: αφαιρώ, εκβάλλω τι εκ τινος, βγάζω από μέσα· το πρωτότυπο έχει ως εξής: «cet Un-multiple où ek-siste l’insistance de la règle — de la succession»]
[24] [=terminus ad quem]
[25] [δηλ. τού συνόλου, τού «ένα» τής ακολουθίας]
[26] [=τα στοιχεία τού οριακού]
[27] [=τής επανάληψης, τής ακολουθίας]
[28] [=η επανάληψη, η ακολουθία]
[29] [«Un Coup de dés»]
[30] [=ο «στραβισμός» τού υποκειμένου]
[31] [=«οριακότητα»]
[32] [=μορφή]
[33] [=Στον θα ανήκουν … ]
[34] [=κάθε τι στο οποίο ανήκει ο ]
[35] [=δεν είναι επόμενος]
[36] [=δηλαδή, τής ύπαρξης ενός απείρου διατακτικού μεγαλύτερου από τον , τέτοιος ώστε κ.ο.κ.]
[37] [=Ζήνων]
[38] [=υπαρκτής πολλαπλής-μονάδας]
[39] [=καταναγκαστικό αποκλεισμό]
[40] [=όριο]